Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος — параллельный и γραμμή — линия) — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Свойства

• Противоположные стороны параллелограмма равны.

  .

• Противоположные углы параллелограмма равны.

• Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

  .

• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
• Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
• Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник.
• Сумма всех углов равна 360°.
• Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:

пусть а — длина стороны AB, b — длина стороны BC, и  — длины диагоналей; тогда

• Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны: .
2. Противоположные углы попарно равны: .
3. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: .
4. Сумма соседних углов равна 180 градусов: .
5. Противоположные стороны равны и параллельны: .
6. Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна его полупериметру.
7. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон параллелограмма:

Площадь параллелограмма

, где a — сторона, h — высота проведенная к этой стороне.

, где a и b — стороны, а  — угол между сторонами a и b.

.

, где p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности

См. также

• Трапеция
• Прямоугольник
• Ромб
• Дельтоид
• Параллелепипед
• Параллелограмм Вариньона