12-10-2023
Теорема Ляпунова — теорема в теории вероятностей, устанавливающая некоторые общие достаточные условия для сходимости распределения сумм независимых случайных величин к нормальному закону.
Часто приходится иметь дело с такими случайными величинами, которые являются суммами большого числа независимых случайных величин. При некоторых весьма общих условиях оказывается, что эта сумма имеет распределение, близкое к нормальному, хотя каждое из слагаемых может не подчиняться нормальному закону распределения вероятностей. Эти условия были найдены Ляпуновым и составляют содержание теоремы, названной его именем.
Пусть с ,… последовательность попарно независимых случайных величин с математическими ожиданиями M и дисперсиями D , причём эти величины обладают следующими двумя свойствами:
1) Cуществует такое число L, что для любого i имеет место неравенство , т, е. все значения случайных величин, как говорят, равномерно ограничены, относительно математических ожиданий;
2) Сумма неограниченно растёт при
Тогда при достаточно большом n сумма имеет распределение, близкое к нормальному.
Пусть и математическое ожидание и дисперсия случайной величины . Тогда
Где — интеграл вероятности.Ξερω/
Теорема Ляпунова.
